Mathematical bases of the theory of N-point gravitational lenses. Part 1. Elements of algebraic geometry

Abstract

EN: In this paper we consider the theory of N-point gravitational lens from the standpoint of classical algebraic geometry. The fi rst section explains the physical statement of the problem and given the conclusion of the basic equation of the gravitational lens. In the second - a brief discussion of the main objects of study in classical algebraic geometry, and justifi ed its application to the theory of N-point gravitational lenses. Then we give the defi nition of the central concepts of algebraic geometry - and the resultant theorems related. The fourth section shows, a well-known, Bezout theorem on the number of solutions of polynomial equations of the system and its corollary. In our approach, this theorem is needed to study the solutions of the gravitational lens. In the fi fth section, we formulate and prove a criterion of irreducibility of polynomials in several variables over the fi eld of complex numbers. We do not know analogues of this criterion for polynomials in several variables over a fi eld of characteristic zero. The fi nal section provides an overview of the solutions of systems of polynomial equations and formulated a number of challenges and problems the solution of which, in our opinion, it is advisable to apply the presented mathematical apparatus. UA: У цій роботі ми розглядаємо теорію гравітаційного об'єктива N-точки з точки зору класичної алгебраїчної геометрії. Перший розділ пояснює фізичну постановку задачі та дає висновок про основне рівняння гравітаційної лінзи. У другому - коротка дискусія про основні об'єкти дослідження в класичній алгебраїчної геометрії, і виправдала її застосування до теорії гравітаційних лінз N-точки. Тоді ми дамо визначення центральних понять алгебраїчної геометрії - і відповідні теореми пов'язані. У четвертому розділі показана добре відома теорема Безуто про кількість рішень поліномиальних рівнянь системи та її наслідків. У нашому підході ця теорема необхідна для вивчення рішень гравітаційної лінзи. У п'ятому розділі ми сформулюємо та довемо критерій незвідності многочленів на декількох змінних над полем комплексних чисел. Ми не знаємо аналог цього критерію для поліноми з декількох змінних над полем нульової характеристики. У заключному розділі наводиться огляд рішень систем рівнянь поліноміальних і формулюється ряд викликів і проблем, вирішення яких, на наш погляд, доцільно застосовувати представлений математичний апарат.