Chronological Products, Energy-Momentum Tensors of Scalar Fields for Particle Generations, and Indefinite Metrics

Abstract

EN: The solutions of generalized Klein-Gordon equations are considered. The generalizations of the Klein-Gordon equation allow one to derive convergent integrals for the Green functions of these equations. The generalized equations are presented as products of the operators for the Klein-Gordon equation with different masses. The solutions of derived homogeneous equations (total fields) are sums of fields corresponding to particles with the same values of the spin, the electric charge, the parities, but with different masses. Such particles are grouped into the kinds (families, dynasties) with members which are the generations. The chronological products of the scalar fields for kinds of particles are obtained at arbitrary quantity of the generations. These chronological products are the causal Green functions of generalized Klein-Gordon equations. The Lagrangians for the generalized Klein-Gordon equations of arbitrary order are derived. These Lagrangians are used to obtain the energy-momentum tensors for the particle kinds at arbitrary quantity of generations. It is shown that the generalized Hamiltonians (for total fields) have got positive eigenvalues for all the generations. These results are derived with the use of the indefinite metrics.

UA: Розглянуто розв’язки узагальнених рівнянь Клейна-Гордона. Узагальнення рівняння Клейна-Гордона дозволяє одержати збіжні інтеграли для функцій Гріна цих рівнянь. Узагальнені рівняння представляють собою добутки операторів рівняння Клейна-Гордона з різними масами. Розв’язки одержаних однорідних рівнянь (повні поля) є суми полів відповідних частинкам з однаковими значеннями спіну, електричного заряду, парностей, але з різними масами. Такі частинки групуються в роди (сім’ї, династії) з членами, які є поколіннями. Одержано хронологічні добутки скалярних полів для родів частинок з довільною кількістю поколінь. Ці хронологічні добутки є причинні функції Гріна узагальнених рівнянь КлейнаГордона. Одержано лагранжияни для узагальнених рівнянь Клейна-Гордона довільного порядку. Ці лагранжіяни використано для знаходження тензорів енергії-імпульсу для родів частинок з довільною кількістю поколінь. Показано, що узагальнені гамільтоніяни (для повних полів) мають додатні власні значення для всіх поколінь. Ці результати одержано з використанням індефінітної метрики.