Розповсюдження механічних хвиль у двовимірному шаруватому середовищі

Abstract

UA: У роботі розглядається задача про розповсюдження механічних хвиль у складеному періодичному двошаровому середовищі – плоска модель. Для такого середовища записується хвильове рівняння, яке розв’язується методом розділення змінних. Таким рівнянням виявляється лінійне диференціальне рівняння з періодичними кусково-сталими коефіцієнтами. Із загальної теорії диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами (теорії Флоке) добре відомий метод матриць перенесення (метод розрахунку проходження хвиль через багатошарові середовища), що дає змогу отримати складову умову розв’язності хвильового рівняння. У роботі розвивається підхід отримання умов розв’язності (побудову дисперсійного рівняння) разом із класичним методом матриць перенесення. Запропонований підхід у певному сенсі еквівалентний методу матриць перенесення, проте має деякі чудові відмінності, зокрема дає строге математичне підґрунтя для переходу до середовищ з кінцевою кількістю шарів.

EN: The paper considers the problem of the propagation of mechanical waves in a folding periodic two-layer medium - a flat model. For such a medium, a wave equation is written and solved by the method of separation of variables. Such an equation turns out to be a linear differential equation with periodic piecewise-stable coefficients. From the basic theory of differential equations with periodic coefficients (Floquet theory), the method of transfer matrices (a method for calculating the passage of waves through multilayer media) is well known, which makes it possible to obtain a composite condition for the solvability of the wave equation. The work develops an approach to obtaining solvability conditions (constructing a dispersion equation) along with the classical method of transfer matrices. The proposed approach is in a certain sense equivalent to the transfer matrix method, however, it has some remarkable differences, in particular, it provides a rigorous mathematical basis for the transition to media with a finite number of layers.