The N-point gravitational lens as cover and his the profile cover

Abstract

EN: The study of mathematical models of gravitational lenses are not direct observations. A special place in such studies is the visualization of the lens model. The image of the source and its images in the N-point gravitational lens, in the picture plane, visualizes the mathematical model - the algebraic equation of the lens. Recently, the number of studies of the equation of the N-point gravitational lens by algebraic methods has increased [6–8]. Such studies make it possible to consider the gravitational lens not only as an algebraic, but also as a topological object. In the work, the equation of the N-point gravitational lens in the complex form is studied. A bundle above the source plane is assigned to it. We investigated one subfamily of lens equations. A critical set of equations of this subfamily is a closed Jordan curve. To the equations of this subfamily we put in correspondence not only a vector bundle, but also a covering. A method for describing coverings is developed for equations whose caustic in the finite plane is a closed Jordan curve (Jordan caustic). A special case of such coverings is coverings for the equation of an N-point gravitational lens, the critical set of which is a closed Jordan curve. These equations, also, have Jordan caustics. The method is similar to the method for describing Riemann surfaces of algebraic functions, graphs ‒ profiles. The algorithm for constructing coverings and the developed method for describing these coverings illustrates an example of a cover given by a rational non-analytic function of a complex variable The covering surface has not only a Jordan caustic, but also a second-order branch point at an infinitely distant point. The methods of the theory of functions of a complex variable, algebraic geometry, algebraic topology and graph theory are used.

UA: Дослідження математичних моделей гравітаційних лінз відносяться до не прямих спостережень. Особливе місце в таких дослідженнях займає візуалізація моделі лінзи. Зображення джерела і його зображень в N-точкової гравітаційної лінзи, в картинній площині, візуалізує математичну модель – алгебраїчне рівняння лінзи. Останнім часом збільшилася кількість досліджень рівняння N-точкової гравітаційної лінзи алгебраїчними методами [6-8]. Такі дослідження дають можливість розглядати гравітаційну лінзу не тільки як алгебраїчний, але і як топологічний об'єкт. В роботі досліджено рівняння N-точкової гравітаційної лінзи в комплексному вигляді. Йому поставлено у відповідність розшарування над площиною джерела. Ми досліджували одну підродину лінзових рівнянь. Критична множина рівнянь цієї підродини є замкнутою жордановою кривою. Рівнянням цієї підродини ми поставили у відповідність не тільки векторне розшарування, а й накриття. Розроблено метод опису накриттів, для рівнянь, каустика яких в кінцевій площині є замкнутою жордановою кривою (жорданова каустика). Окремим випадком таких накриттів є накриття для рівняння N-точкової гравітаційної лінзи, критична множина якого є замкнута жорданова крива. Ці рівняння, також, мають жорданову каустику. Метод є подібний до методу опису ріманових поверхонь алгебраїчних функцій, графами - профілями. Алгоритм побудови накриттів і розроблений метод опису цих накриттів ілюструє приклад накриття, яке задано раціональною не аналітичною функцією комплексного змінного. Накриваюча поверхня має не тільки жорданову каустику, а й точку розгалуження другого порядку в нескінченно віддаленій точці. У роботі використані методи теорії функцій комплексного змінного, алгебраїчної геометрії, алгебраїчної топології та теорії графів.