Голоморфні майже періодичні функції у різних метриках

Abstract

UA: У дисертації досліджено голоморфні функції у трубчастій області в багатовимірному комплексному просторі, майже періодичні у рівномірній метриці, метриці Степанова, Вейля чи Безиковича. Побудовано ряд Фур'є цих функцій і показано, що фактично він є рядом Діріхле з постійними коефіцієнтами. Доведено, що всі простори голоморфних майже періодичних функцій у метриці Степанова співпадають з простором голоморфних рівномірних майже періодичних функцій. Простори голоморфних майже періодичних функцій у метриці Вейля різних порядків співпадають. Досліджено також, що останній простір істотно ширший за простір голоморфних рівномірних майже періодичних функцій, та істотно вужчий за простір голоморфних майже періодичних функцій у метриці Безиковича. Встановлено, що обмежена голоморфна функція в трубчастій області, майже періодична на дійсній гіперплощині в цій області, є майже періодичною на всій області. Для майже періодичних функцій у рівномірній метриці чи метриці Степанова проведено зв'язок між спектром і обмеженим продовженням у трубчасту область з конусом в основі. Зокрема, спектр майже періодичної функції обмежений тоді і тільки тоді, коли функція продовжується до цілої функції експоненціального типу в багатовимірному комплексному просторі.

EN: We investigate holomorphic functions on a tube domain in m C that are almost periodic with respect to either uniform metric, or Stepanov’s one, or Weyl’s one, or Besicovitch’s one. We construct Fourier series expansion of these functions and show that the Fourier series is actually Dirichlet series with constant coefficients. We prove that all the spaces of holomorphic almost periodic functions in Stepanov’s sense coincide with the space of holomorphic uniformly almost periodic functions. The spaces of holomorphic almost periodic functions in the Weyl’s sense coincide for various orders as well. We also prove that the latter space is essentially wider than the space of holomorphic uniformly almost periodic functions, and essentially narrower than the space of holomorphic almost periodic functions in the Besicovitch’s sense. Then we show that if a bounded holomorphic function on a tube domain in C m is almost periodic on an m-dimensional real plane in this domain, then it is almost periodic on the whole domain. As for almost periodic functions with respect to either the uniform metric, or Stepanov’s one on R m , we investigate the connection between their spectrum and their bounded extending to a tube domain with a cone in a base. In particular, we prove that the spectrum of an almost periodic function is bounded if and only if the function extends to an entire function on Cm of the exponential type.