Divergences of integrals for Green functions of Klein-Gordon and Dirac equations and necessary existence of particle generations

Abstract

EN: It is shown that the values of the infinite integrals for the Green functions of the Klein – Gordon and Dirac equations depend on the method used for its calculations, i.e., these integrals diverge. The Green functions proposed to eliminate these divergences include in the denominators the polynomials of the N degree instead of one factor 2 2 m q − or m q − for the Klein – Gordon equation or the Dirac equation, respectively. The corresponding generalizations of the Klein – Gordon and Dirac equations have 2N and N degree, respectively. The solutions of these generalizations for the Klein – Gordon and Dirac equations may be presented by the sum of N terms, each term corresponds to the contribution of one particle (one generation). All these particles have different masses but the same spin, parity, charge, isospin. Since the space – time is 4 – dimensional one, the convergence of the integrals for proposed Green functions is possible only if the generation number N is not less than three for integer spin particles and not less than five for half – integer spin particles. It is shown that the proposed Green functions have no any singularities in the space – time. In particular, the interaction potentials must have the oscillator form at short distance. It is predicted that two (or greater) massive particles with quantum numbers of the photon and gluons must exist.

UA: Показано, що значення невласних інтегралів для функцій Гріна рівнянь Клейна - Гордона та Дірака залежать від методу обчислення, тобто ці інтеграли розбігаються. Функції Гріна запропоновані для усунення розбіжностей містять у знаменниках поліноми ступеня N замість одного множника 2 2 m q − або m q − для рівнянь Клейна - Гордона та Дірака, відповідно. Відповідні узагальнення рівнянь Клейна – Гордона і Дірака мають порядки 2 N та N , відповідно. Розв ’язки цих узагальнень рівнянь Клейна - Гордона і Дірака можна представити у вигляді суми N доданків, кожен з яких відповідає внеску однієї частинки (одного покоління). Всі ці частинки мають одні й ті ж значення спіну , парності, заряду, ізоспіну, але різні маси. Оскільки простір -час має чотири виміри, то збіжність інтегралів для запропонованих функцій Гріна можлива тільки якщо кількість поколінь N не менша трьох для частинок із цілим спіном та не менше п 'яти для частинок із пів -цілим спіном. Показано, що запропоновані функції Гріна не мають сингулярностей у всьому просторі - часу. Зокрема, потенціали взаємодій повинні мати осцилляторний вигляд на малих відстанях. Передбачено, що дві (або більше) масивних частинок з квантовими числами фотона і глюона повинні існувати.